Родился Анатолий Федорович 27 сентября 1924 года в деревне Малое Кириллово Уренского района Горьковской области в семье крестьянина.

После окончания седьмого класса он пошел работать в колхоз.  И уже в шестнадцать лет возглавил ревизионную комиссию. С марта 1941 года Анатолии Федорович работал в городе Горький, с мая на добыче бутового камня в Рязанской области. И именно здесь в обычный вос­кресный день Анатолия Федоровича застала война.

В октябре 1941 года был мобилизован на оборонные работы в Гороховецкие лагеря Влади­мирской области. В мае 1942 года Анатолия Фёдоровича направили в Горьковское командное училище.

В августе от командного училища 18 добровольцев, включая Анатолия Зверева, отправились на фронт.  В Москве на Курском вокзале их ждала машина для доставки в Красные казармы, где формировалась 2-я артиллерийская дивизия РГК (резерв главного командования). В нача­ле октября эшелон прибыл в город Энгельс, что находится на левом берегу Волги. Отсюда двинулись к Сталинграду.      

Там получили первое боевое крещение: на глазах у Анатолия Федоровича осколком был убит командир отделения, а трое сослуживцев были ранены.  В ноябре его и самого ранило в грудь.

Анатолия Федоровича отправили в медсанбат, извлеченную пулю отдали на память. А через десять дней снова в бой. 19 ноября 1942 год фронт пошёл в наступление под артобстрелом. С тех пор эта дата отмечена в календаре Днем артиллериста. Дальше солдат Зверев держал путь на Ростов, по Калмыцким и Сальским степям, через город Аксай и речушку Миус.

В августе 1943 года Анатолий Федорович был ранен осколком снаряда в правую ногу. Это произошло в городе Сталино (ныне Донецк). Солдат Зверев находился на наблюдательном пункте, будучи разведчиком - корректировщиком он должен был переносить огонь батареи из одной точки противника на другую. Рядом упал немецкий снаряд …Товарищи помогли раненому Анатолию, положили его на плащ-палатку, ползком дотащили до лощины у реки, перевязали и отправили в медсанбат. Семь месяцев пролежал Анатолий Фёдорович в госпиталях Ростова-на-Дону, Зимовников, Кисловодска. После возвращения в часть, в 1944 году в Молдавии, он получил   очередное ранение, но уже в голову.  В Румынии ещё одно… и снова госпиталь. По состоянию здоровья 30 ноября 1944 года Анатолия Зверева демобилизовали и отправили домой.

Уже через три дня Анатолий пошёл работать инспектором в отдел государственного обеспечения райисполкома.  Во время дежурства в ночь на 9 мая он   узнал о Победе.

Врачебная комиссия признала его инвалидом Отечественной войны третьей степени. Когда в 1947 году зашевелились осколки и Анатолия на семь месяцев отправили в Горьковский госпиталь, ему назначали вторую группу инвалидности.

С 1948 по 1956 год Зверев Анатолий Фёдорович работал в Горьковской лесозаготовительной конторе. Затем - Братский район Иркутской области. А в 1972 году переехал в Усть-Илимск. Здесь он был начальником лесоучастка в ПМК. В его ведении находились лесозаготовка, лесопиление, погрузка в вагоны.

Со своей женой Прасковьей Фёдоровной Анатолий Фёдорович Зверев живет с 1974 года. У них две дочери и сын, четыре внука и два правнука.